Question

設函數f（x）定義在R上，對于任意實數m、n，恒有f(m+n)=f(m)?f(n)，且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1；
（2）設集合A={(x，y)|f(x2)?f(y2)＞f(1)}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，可求得f（1）=f（1）•f（0），依題意，當x＞0時，0＜f（x）＜1即可證得f（0）=1，再令m=x，n=-x，結合當x＜0時，f（x）＞1即可證得當x＜0時，f（x）＞1；
（2）先利用函數的單調性的定義判斷函數f（x）在R上是單調遞減的，再理清集合A與集合B表示的點集，最后由A∩B=∅，利用圖形間的幾何意義可求a的取值范圍．

解答：解：（1）令m=1，n=0，得f（1）=f（1）•f（0）
又當x＞0時，0＜f（x）＜1，所以f（0）=1
設x＜0，則-x＞0
令m=x，n=-x，則f（0）=f（x）•f（-x）
所以f（x）•f（-x）=1
又0＜f（-x）＜1，所以f（x）=

1

f(-x)

＞1
（2）設x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
所以0＜f（x₂-x₁）＜1，從而f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁），
又由已知條件及（1）的結論知f（x）＞0恒成立
所以

f(x2)

f(x1)

=f（x₂-x₁），所以0＜

f(x2)

f(x1)

＜1，
所以f（x₂）＜f（x₁），故f（x）在R上是單調遞減的．
由f（x²）•f（y²）＞f（1）得：f（x²+y²）＞f（1），
因為f（x）在R上單調遞減，所以x²+y²＜1，即A表示圓x²+y²=1的內部，
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0
所以B表示直線ax-y+2=0，
所以A∩B=∅，所以直線與圓相切或相離，即

2

1+a2

≥1
解得：-

3

≤a≤

3

．

點評：本題考查抽象函數及其應用，突出考查函數的單調性的定義判斷及集合A與集合B表示的點集的幾何意義，考查直線與圓的位置關系，考查轉化思想與運算能力，屬于難題．