Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，其中主視圖AA₁B₁B和左視圖B₁BCC₁均為矩形，俯高圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，
（1）在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，求證：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若D是底邊AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積.

Answer 1

12

（1）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱，
又俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，，
由余弦定理可得
又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵AC₁平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
（2）連BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點，連DM，則DM∥AC₁              
∵DM平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，∴AC₁∥平面CDB₁  
（3）左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d
 ∴左視圖的面積