Question

如圖，橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P為橢圓上的一點，且滿足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面積．
（2）若此橢圓長軸為8，離心率為

3

2

，求點P的坐標．

Answer 1

（1）根據橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，平方得|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²
又PF⊥PF₂∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²
∴|PF₁||PF₂|=2b²
∴S=

1

2

|PF₁||PF₂|=b²…7′．
（2）由a=4，

c

a

=

3

2

得b²=4….9′
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

4

=1…..10′
由PF⊥PF₂∴P為以F₁F₂為直徑的圓上．….13′

x2

16

+

y2

4

=1①x²+y²=12②
聯列方程組得x=±

2 3

3

y=±

4 6

3

∴點P的坐標：P₁（

2 3

3

，

4 6

3

）P₂（-

2 3

3

，

4 6

3

）
P₃（-

2 3

3

，-

4 6

3

）P₄（

2 3

3

，-

4 6

3

）….15′