Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左，右焦點分別為F₁、F₂．若在雙曲線右支上存在一點P使|PF₁|=4|PF₂|，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  5

  3

  ]
• B、（1，2]
• C、[

  5

  3

  ，2]
• D、[

  5

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答： 解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=

2a

3

，
∵點P在雙曲線的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴

2a

3

≥c-a，
∴e=

c

a

≤

5

3

，
∵e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，

5

3

]．
故選：A．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．