Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分．）
A．設函數f（x）=|2x+1|-|x-4|．則不等式f（x）＞2的解集為    ；
B．（坐標系與參數方程選做題）曲線C：（α為參數），若以點O（0，0）為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是    ．

C．（幾何證明選講選做題） 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，弧AE=弧AC，DE交AB于F，且AB=2BP=4，則PF=    ．

Answer 1

【答案】分析：A，通過對x分類討論去掉絕對值符號即可求得分段函數f（x）的表達式，從而可|求得不等式f（x）＞2的解集；
B，根據題意可以點O（0，0）為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系作出圖形，從而得到該曲線的極坐標方程；
C：由于點F在直徑AB上，可構造相似形，利用割線定理轉化求解．
解答：解：對于A，∵f（x）=|2x+1|-|x-4|=，
∴當x＜-時，f（x）＞2?-x-5＞2，
∴x＜-7；
當-≤x≤4時，f（x）＞2?3x-3＞2，
∴＜x≤4；
當x＞4時，f（x）＞2?x+5＞2，
∴x＞4；
綜上所述，不等式f（x）＞2的解集為{x|x＜-7或x＞}；
對于B，由參數方程得其普通方程為：（x+2）²+y²=4，
∴以點O（0，0）為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，

則該曲線的極坐標方程是ρ=4cos（π-θ）=-4cosθ；
對于C，連接OC，

∵∠AOC的度數=弧AC的度數，∠EDC的度數=弧EC的度數=弧AC的度數
∴∠AOC=∠EDC，
∴∠POC=∠PDF，
∴△POC∽△PDF
∴=，
即PF===2×=3．
故答案為：A，{x|x＜-7或x＞}；B，ρ=-4cosθ；C，3．
點評：本題A考查絕對值不等式的解法，通過對x分類討論去掉絕對值符號是關鍵；B考查簡單曲線的極坐標方程，將參數方程轉化為極坐標方程是關鍵，C考查幾何證明，構造解決問題的相似三角形是關鍵，利用切割線定理轉化是難點，屬于中檔題．