Question

【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點.射線分別交于點，動點滿足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線交曲線與點，射線與點，且交曲線于點.問：的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，為.

【解析】

(1) 設,再根據三角函數的關系可得,,進而消參求得軌跡的方程即可.

(2) 設直線的方程為,再聯立直線與(1)中橢圓的方程,根據弦長公式化簡,代入韋達定理求解即可.

解：方法一：（1）如圖設,則

,所以,.

所以動點的軌跡的方程為.

方法二：（1）當射線的斜率存在時,設斜率為,方程為,

由得,同理得,所以即有動點的軌跡的方程為.當射線的斜率不存在時,點也滿足.

（2）由（1）可知為的焦點,設直線的方程為（斜率不為0時）且設點,,由得

所以,所以

又射線方程為,帶入橢圓的方程得,即

,

所以

又當直線的斜率為時,也符合條件.綜上,為定值,且為.