Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2、∠ADC=120°的菱形，Q是側棱DD₁（DD₁＞

2

2

）延長線上的一點，過點Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交側棱BB₁于點P．設截面QA₁PC₁的面積為S₁，四面體B₁-A₁C₁P的三側面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面積的和為S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）證明：AC⊥QP；
（Ⅱ）當S取得最小值時，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明：AC⊥QP；只要證明AC垂直平面PCDQ即可．也就是證明AC垂直平面內的相交直線即可．
（Ⅱ）設O是A₁C₁與QP的交點，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，利用S=S₁-S₂．表示出面積S，當S取得最小值時，求出x的值，然后求cos∠A₁QC₁的值．

解答：解：（Ⅰ）連AC、BD，則AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，則AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）設O是A₁C₁與QP的交點，QD₁=x、QO=y，則x²+1=y²，S=S₁-S₂
=2×

1

2

×2

3

y-(

1

2

×2

3

+2×

1

2

×2x)=2

3

y-

3

-2x=2(

3(x2+1)

-x)-

3

．（8分）
∵令m=

3(x2+1)

-x，則m2=(

3(x2+1)

-x)2=(

3

x-

x2+1

)2+2，
∴當

3

x=

x2+1

即x=

2

2

時，S取得最小值．（11分）
此時，QC1=QA1=

3 2

2

，由余弦定理有cos∠A₁QC₁=

QC12+QA12-A1C21

2QC1×QA1

=-

1

3

．（13分）

點評：本題考查棱柱的結構特征，余弦定理，是中檔題．