Question

數列{a_n}的通項公式為a_n=（n∈N^*），設f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表達式；
（3）數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n項和為g（n），求證：當n∈N^*時，g（2ⁿ）-≥1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用數列{a_n}的通項公式為a_n=（n∈N^*），分別令n=1，2，3，4．即可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），兩式相除得：
即可得出f（n）的表達式；
（3）先利用題中條件得出g（2ⁿ）=1+++…+．再設∅（n）=f（2ⁿ）-，研究它的單調性，即數列{∅（n）}是單調遞增數列，從而求得其最小值為∅（1），從而得到∅（n）≥1即得g（2ⁿ）-≥1．
解答：解：（1）f（1）=，f（2）=，f（3）=，f（4）=．
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），
兩式相除得：
=1-a_n=1-=（n＞1）．
∴…=…，
=•=，
∴f（n）=（n＞1），又f（1）=適合此式，
∴f（n）=．
（3）b _n+1=2f（n）-1=，
g（n）=1+++…+，
∴g（2ⁿ）=1+++…+．
設∅（n）=f（2ⁿ）-，
則∅（n）=1+++…+．
∅（n+1）-∅（n）=1+++…+-（1+++…+）
=++…+-．
∵++…+的項數為2ⁿ，
∴++…+＞++…+==，
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即數列{∅（n）}是單調遞增數列．
其最小值為∅（1）=g（2）-=1
∴∅（n）≥1即g（2ⁿ）-≥1．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、數列的函數特性、數列的求和、數列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．