Question

【題目】已知函數f（x）=1-（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數．

（1）求a的值；

（2）證明：函數f（x）在定義域（-∞，+∞）內是增函數；

（3）當x∈（0，1]時，tf（x）≥2x-2恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）見解析（3）[0，+∞）．

【解析】

（1）由于為上的奇函數，利用性質，即可求出的值.

（2）利用定義法即可證明的單調性.

（3）利用分離參數法，然后構造函數，利用換元法，結合其單調性，即可求出最大值，從而求出的范圍.

解：（1）函數（且）是定義在上的奇函數，

，解得：，經檢驗滿足.

（2）證明：設為定義域上的任意兩個實數，且，則

又，

；

，即；

∴函數在定義域內是增函數；

（3）由（1）得，當時，；

∴當時，恒成立，

等價于對任意的恒成立，

令，即；

當時成立，即在上的最大值，

易知在上單增

∴當時有最大值，

所以實數的取值范圍是．