Question

【題目】如圖，在等腰直角中，，，點在線段上.

(Ⅰ) 若，求的長；

（Ⅱ）若點在線段上，且，問：當取何值時，的面積最小？并求出面積的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）當時，的最大值為，此時的面積取到最小值．即2時，的面積的最小值為

【解析】

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,

由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,

得MP2-4MP+3=0,

解得MP=1或MP=3.

(2)設∠POM=α,0°≤α≤60°,

在△OMP中,由正弦定理,

得=,

所以OM=,

同理ON=.

故S△OMN=OM·ON·sin∠MON

=×

=

=

=

=

=

=.

因為0°≤α≤60°,

30°≤2α+30°≤150°,

所以當α=30°時,sin(2α+30°)的最大值為1,

此時△OMN的面積取到最小值.

即∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為8-4.