Question

【題目】已知等腰梯形ABCD(如圖1所示)，其中AB∥CD，E，F分別為AB和CD的中點，且AB＝EF＝2，CD＝6，M為BC中點．現將梯形ABCD沿著EF所在直線折起，使平面EFCB⊥平面EFDA(如圖2所示)，N是線段CD上一動點，且.

(1)求證：MN∥平面EFDA；

(2)求三棱錐A－MNF的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1

【解析】(1)證明：過點M作MP⊥EF于點P，過點N作NQ⊥FD于點Q，連接PQ.由題知，平面EFCB⊥平面EFDA，

又MP⊥EF，平面EFCB∩平面EFDA＝EF，

∴MP⊥平面EFDA.

又EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF＝F，

∴EF⊥平面CFD.

又NQ平面CFD，∴NQ⊥EF.

又NQ⊥FD，EF∩FD＝F，

∴NQ⊥平面EFDA，

∴MP∥NQ.

又CN＝ND，∴NQ＝CF＝×3＝2，

且MP＝ (BE＋CF)＝×(1＋3)＝2，

∴MP綊NQ，∴四邊形MNQP為平行四邊形．

∴MN∥PQ.

又∵MN平面EFDA，PQ平面EFDA，

∴MN∥平面EFDA.

(2)延長DA，CB相交于一點H，則H∈CB，H∈DA.

又∵CB平面FEBC，DA平面FEAD.

∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，

即H∈平面FEBC∩平面FEAD＝EF，

∴DA，FE，CB交于一點H，且HE＝EF＝1.

V三棱錐F－CDH＝V三棱錐C－HFD＝·S△HFD·CF＝，

又由平面幾何知識得，則，

∴V三棱錐A－MNF＝V三棱錐F－AMN＝V三棱錐F－CDH＝＝1.