Question

【題目】已知函數(shù)， 為函數(shù)的極值點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)時(shí)， ；

（2）對(duì)于任意，都存在，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）求出，由，可得， ，等價(jià)于當(dāng)時(shí)， 恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，從而可得結(jié)果；（2）令，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值為，即的最小值為.

試題解析：（1），∴，

又∵為極值點(diǎn)， ，∴，

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，

當(dāng)時(shí)， ，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)， 恒成立，

設(shè)，所以，

當(dāng)時(shí)， ，所以在上為減函數(shù)，所以，

故當(dāng)時(shí)， 成立.

（2）令，則，

解得，

同理，由，可得，

因?yàn)?/span>，又，所以，

令，

則，易知，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

即當(dāng)時(shí)， 是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)，

所以的最小值為，即的最小值為.