Question

某電視生產企業有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉活動，若企業投放A、B兩種型號電視機的價值分別為a、b萬元，則農民購買電視機獲得的補貼分別為

1

10

a，mln（b+1）萬元（m＞0且為常數）．已知該企業投放總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機，且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元．
（1）請你選擇自變量，將這次活動中農民得到的總補貼表示為它的函數，并求其定義域；
（2）求當投放B型電視機的金額為多少萬元時，農民得到的總補貼最大？

Answer 1

分析：（1）先設投放B型電視機的金額的x萬元，則投放A型電視機的金額為（10-x）萬元，即可得到農民得到的總補貼的函數解析式；
（2）對于（1）中求得的函數，可利用導數研究分段其單調性，從而求得其最大值，最終即可解決當投放B型電視機的金額為多少萬元時，農民得到的總補貼最大問題．

解答：解：（1）設投放B型電視機的金額的x萬元，則投放A型電視機的金額為（10-x）萬元，
農民得到的總補貼f(x)=

1

10

(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-

x

10

+1，1≤x≤9
（2）f′(x)=

m

x+1

-

1

10

=

10m-(x+1)

10(x+1)

=

-[x-(10m-1)]

10(x+1)

，令y′=0得x=10m-1
1°若10m-1≤1即0＜m≤

1

5

，則f（x）在[1，9]為減函數，當x=1時，f（x）有最大值；
2°若1＜10m-1＜9即

1

5

＜m＜1，則f（x）在[1，10m-1]是增函數在[10m-1，9]是減函數，當x=10m-1時，f（x）有最大值；
3°若10m-1≥9即m≥1，則f（x）在[1，9]是增函數，當x=9時，f（x）有最大值．
因此，當0＜m≤

1

5

時，投放B型電視機1萬元；當

1

5

＜m＜1時，投放B型電視機（10m-1）萬元，當m≥1時，投放B型電視機9萬元．農民得到的總補貼最大．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、利用導數研究函數的單調性及函數的最值，考查運算求解能力，分類討論思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．