Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點E是AB上的動點
（1）若直線D₁E與EC垂直，請你確定點E的位置，并求出此時異面直線AD₁與EC所成的角
（2）求在（1）的條件下求二面角D₁-EC-D所對應的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先由D₁E與EC垂直⇒DE與CE垂直，求得x=1，從而得出點E是AB的中點，再取CD的中點Q，則AQ平行與EC，得到∠D₁AQ是所求的角，最后在三角形中即可解出∠D₁AQ的大小．從而問題解決．（2）由（1）可知∠D₁ED是所求D₁-EC-D的平面角，然后通過解直角三角形即可得到答案．

解答：解：如圖，
（1）由D₁E與EC垂直⇒DE與CE垂直
設AE=x，在直角三角形DEC中求得x=1
所以點E是AB的中點
取CD的中點Q，則AQ平行與EC，所以∠D₁AQ是所求的角
求解△D₁AQ得∠D₁AQ=

π

3

，所以異面直線AD₁與EC所成的角為

π

3

． 
（2）由D₁E⊥EC，∴DE與CE垂直，
所以∠D₁ED是所求D₁-EC-D的平面角，
在直角三角形D₁ED 中，cos∠D₁ED=

DD1

D1E

=

6

3

．

點評：本題考查線線垂直的判定、空間角的計算，考查空間想象、計算能力．