Question

若不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集不為∅，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：令f（x）=|x-1|+|x-2|可求得f（x）_min，依題意，a²+a+1≥f（x）_min，解之即可．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x-2|，由絕對值的幾何意義：數軸上的點到1，3的結論之和，
可知函數f（x）的最小值為：1，
即f（x）_min=1．
∵不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集不為∅，
∴a²+a+1≥f（x）_min=1，
∴a²+a≥0．
解得：a≥0或a≤-1．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-1]∪[0，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[0，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式，考查構造函數思想與方程思想，考查理解題意與推理運算的能力，屬于中檔題．