Question

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)， ．

(1)證明：當(dāng)且時(shí)， ；

(2)數(shù)列滿足， ，證明： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析; (1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
(2) 先用數(shù)學(xué)歸納法證明，從著手，由 ，將求證式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化后即可解決，用相同的方式將 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，設(shè)法利用已證結(jié)論證明．

試題解析；

(Ⅰ) 證：用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時(shí)， ，原不等式成立

（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立

當(dāng)時(shí)，

所以時(shí)，原不等式成立

綜合（1）（2）,知當(dāng)且時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立…

（Ⅱ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（1）當(dāng)時(shí)由假設(shè)知成立。

（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立

由易知

當(dāng)時(shí)

由得

由（Ⅰ）中的結(jié)論得

因此，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立

綜合（1）（2）可得，對(duì)一切正整數(shù)，不等式均成立

再由得，即

綜上所述，