Question

如圖，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面 ABCD所成的角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動。

（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有AF⊥PE；
（3）求當BE的長為多少時，二面角P-DE-A的大小為45°。

Answer 1

解：（1）平行。
因為EF//PC，且EF平面PAC，PC平面PAC，
所以EF//平面PAC。
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
 ∴PA⊥BE，
又BE⊥AB，AB∩AP=A，
所以BE⊥平面PAB，
又AF平面PAB ，
所以AF⊥BE，
又PA=AB=1，點F是PB的中點，
所以AF⊥PB，
又因為PB∩BE=B，
所以AF⊥平面PBE，
因為PE平面PBE，
所以AF⊥PE。
（3）過A作AG⊥DE于G，連結PG，
又DE⊥PA，則DE⊥平面PAG，
則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
所以∠PGA=45°，
解得：BE=。