Question

【題目】已知橢圓，直線不經(jīng)過(guò)橢圓上頂點(diǎn)，與橢圓交于，不同兩點(diǎn).

（1）當(dāng)，時(shí)，求橢圓的離心率的取值范圍；

（2）若，直線與的斜率之和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由已知得直線，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)解，，求出的取值范圍，，得，即可求出結(jié)論；

（2）橢圓方程為，上頂點(diǎn)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，得出關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，可得關(guān)系，將用表示，由，求出關(guān)系，即可求解.

（1），，則

由得，

因橢圓與直線相交于，不同兩點(diǎn)，

∴，.

于是橢圓的離心率，

故橢圓的離心率范圍為.

（2）∵，∴橢圓方程為，上頂點(diǎn)，

直線，點(diǎn)，，

聯(lián)立得，

由韋達(dá)定理得

依題意有：，即

將（3）（4）代入（5）得：，

化簡(jiǎn)得：，

∴直線為：，

即直線過(guò)定點(diǎn).