Question

【題目】已知數列的各項均為正數，，且對任意,都有，數列前n項的和.

（1）若數列是等比數列，求的值和；

（2）若數列是等差數列，求和的關系式；

（3），當時，求證: 是一個常數.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）確定數列的通項，利用，可得c的值，分類討論求和可得；

（2）求出數列的公差，利用，建立關系式，可得和的關系式；

（3）利用分析法進行證明.

（1）由題意得：，

，

因為數列的各項均為正數，所以

當時，，，

當且時，，

當時，

當時，，

所以

（2）由題意得：

，，

，

（3）計算，

猜想

欲證明恒成立

只需要證明恒成立

即要證明恒成立

即要證明恒成立（***）

，

，

（***）左邊

（***）右邊

所以（***）成立

方法二：計算

猜想

，

由于，上式兩邊同除以，

得.

所以，.

所以是常數