Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，平面平面，且.

（1）在線段上是否存在一點，使平面，證明你的結論；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在點，點為的中點，證明見解析；（2）

【解析】

（1）容易判斷出點為的中點，根據中位線定理得到，再根據線面平行的判定定理證明即可；

（2）根據題目給出的數據，找出兩兩垂直的關系，建立空間直角坐標系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）存在點，點為的中點

證明：當點為的中點時，連結交于，

∵平行四邊形，∴為的中點，

連結，則，

∵平面，平面，∴平面.

（2）∵，

∴，∴，，∴，

又∵平面平面，∴平面，平面，

以為軸，為軸，為軸，如圖建系：

則，，，，

∴，

∴為平面的一個法向量，

令平面的一個法向量為，

∴取，，

∴平面的一個法向量為，

令二面角為，由題意可知為銳角，

則.