Question

【題目】已知橢圓，為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，的離心率

（1）求橢圓的標準方程；

（2）斜率為的直線過點交橢圓于兩點，線段的中垂線交軸于點，試探究是否為定值，如果是，請求出該定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，

【解析】

(1)已知為橢圓上一點，可代入橢圓方程，結合離心率和，求出，即可得橢圓的標準方程；

(2)直線斜率時得出定值，時設出直線方程，聯立方程組，利用弦長公式求出，再得出的中點坐標和線段的中垂線方程，得出點的坐標，從而求出,求得為定值.

（1）解得

∴橢圓方程為

（2）當時，

當時，直線方程為，假設兩點坐標分別為，把直線代入橢圓方程中得：

，顯然恒成立

則線段中點坐標為，

線段的中垂線方程為，即

令，則，

∴

綜上所述，（定值）