Question

f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為F函數．現給出下列函數：
①f（x）=2x；
②f（x）=x²+1；
③f(x)=

2

(sinx+cosx)；
④f(x)=

x

x2-x+1

；
⑤f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是F函數的函數有

①④⑤

．

Answer 1

分析：用F函數的定義加以驗證，對于①④⑤均可以找到常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，說明它們是F函數．而對于②③，當x→0時，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，故它們不符合題意．

解答：解：對于①，f（x）=2x，易知存在M=2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，符合題意；
對于④，因為|f（x）|=

|x|

x2-x+1

=

|x|

(x- 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，所以存在常數M=

4

3

＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，④是F函數；
對于⑤，f（x）是定義在實數集R上的奇函數，故|f（x）|是偶函數，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，
|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，符合題意．
而對②、③用F函數的定義不難發現：因為x→0時，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，它們是不符合題意的
故答案為：①④⑤

點評：本題考查了函數的定義域和值域的問題，屬于中檔題．題中“F函數”的實質是函數f（x）與x的比值對應的函數是有界的，抓住這一點我們不難解出．