設函數
（其中
），
，已知它們在
處有相同的切線.
（1）求函數
，
的解析式；
（2）求函數在
上的最小值；
（3）判斷函數
零點個數.
（1）
.
（2）
；
（3）函數只有一個零點.
解析試題分析：(1) 應用導數的幾何意義，確定切點處的導函數值，得切線斜率，建立
的方程組.
(2) 應用導數研究函數的最值，基本步驟明確，本題中由于中
的不確定性，應該對其取值的不同情況加以討論.
當
時，在
單調遞減，
單調遞增，
得到
.
當
時，在
單調遞增，得到
；
即 .
（3）由題意
求導得
，
由
,
確定的單調區間：
上單調遞增，在
上單調遞減
根據
，
得到函數只有一個零點. 13分，即得所求.
試題解析：(1) 
， 
1分
由題意，兩函數在處有相同的切線.
，
. 3分
(2) 
，由
得
，由
得
，
在
單調遞增，在
單調遞減. 4分
當時，在單調遞減，單調遞增，
∴. 5分
當時，在單調遞增，
；
6分
（3）由題意
求導得
， 8分
由得
或，由得
所以
在上單調遞增，在上單調遞減 10分
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）當
時，求函數
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（3）當時，函數
的圖像與x軸交于兩點
，且
，又
是
的導函數，若正常數
滿足條件
.證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調銷售單價以提高銷量，增加收益．據測算，若今年的實際銷售單價為x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年銷量(單位：萬件)與(2－x)2成正比，比例系數為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y(單位：萬元)與今年的實際銷售單價x間的函數關系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調銷售單價以提高銷量，增加收益．據測算，若今年的實際銷售單價為x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年銷量(單位：萬件)與(2－x)2成正比，比例系數為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y(單位：萬元)與今年的實際銷售單價x間的函數關系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價，提高銷量的營銷策略是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知向量
，
，
（
為常數， 
是自然對數的底數），曲線
在點
處的切線與
軸垂直,
．
（Ⅰ）求的值及
的單調區間；
（Ⅱ）已知函數 (
為正實數),若對于任意
，總存在
， 使得
，求實數的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在點x＝－1處取得極大值為2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若對于區間[－2，2]上任意兩個自變量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求實數c的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①當t＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
②當t≠0時，求f(x)的單調區間．
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x2－mlnx＋(m－1)x，當m≤0時，試討論函數f(x)的單調性；
（
，
是常數），若對曲線
上任意一點
處的切線
，
恒成立，求