Question

【題目】若數列滿足n≥2時，，則稱數列(n)為的“L數列”．

（1）若，且的“L數列”為，求數列的通項公式；

（2）若，且的“L數列”為遞增數列，求k的取值范圍；

（3）若，其中p＞1，記的“L數列”的前n項和為，試判斷是否存在等差數列，對任意n，都有成立，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1，＋∞)；（3）存在滿足條件的等差數列，見解析

【解析】

（1）由題意知即，利用累乘法即可求得通項公式；（2）由可得，設，根據題意{bn}為遞增數列，只需－＞0恒成立即可求得滿足題意的k值；（3）根據的通項公式求出，利用放縮法及等比數列的前n項和公式可得，再次利用放縮可得，設，易證其為等差數列，結論成立.

（1）由題意知，即，

所以，

即數列的通項公式為.

（2）因為，且n≥2，n∈N*時，，所以，

設，n∈N*，所以1－．

因為{bn}為遞增數列，所以對n∈N*恒成立，

即－＞0對恒成立．

因為－＝，

所以－＞0等價于．

當0＜k≤1時，因為n＝1時，，不符合題意．

當k＞1時，，所以，

綜上，k的取值范圍是．

（3）存在滿足條件的等差數列，證明如下：

因為，k，

所以，又因為，所以，

所以，

即，因為，所以，

設，則，且，

所以存在等差數列滿足題意．