Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AB=2AC，

（1）求證：BE=2AD；
（2）求函數AC=1，BC=2時，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DE，

∵ACED是圓的內接四邊形，

∴∠BDE=∠BCA，

∵∠DBE=∠CBA，

∴△BDE∽△BCA，

∴ ，

∵AB=2AC，

∴BE=2DE．

∵CD是∠ACB的平分線，

∴AD=DE，

從而BE=2AD

（2）解：由條件得AB=2AC=2，

設AD=t，根據割線定理得

BDBA=BEBC，

∴（AB﹣AD）BA=2ADBC，

∴（2﹣t）×2=2t2，

解得t= ，即AD=

【解析】（1）連接DE，因為ACED是圓的內接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=2AD．（2）由條件得AB=2AC=2，根據割線定理得BDBA=BEBC，即（AB﹣AD）BA=2AD（2AD+CE），由此能求出AD．