Question

【題目】已知函數f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當x＞0時， ；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx對任意x＞1恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，f'（1）=1，
又f（1）=0，所以切線方程為y=x﹣1；
（Ⅱ）證明：由題意知x＞0，令 = ．
令 ，解得x=1．
易知當x＞1時，g'（x）＞0，易知當0＜x＜1時，g'（x）＜0．
即g（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，
所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0
即 ，即x＞0時， ；
（Ⅲ）設h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），
依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．
，a≤1時，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，滿足題意．
a＞1時，隨x變化，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	﹣	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

h（x）在（1，a）上單調遞減，所以g（a）＜g（1）=0
即當a＞1時，總存在g（a）＜0，不合題意．
綜上所述，實數a的最大值為1
【解析】（Ⅰ）求出導函數 ，求出斜率f'（1）=1，然后求解切線方程．（Ⅱ）化簡 = ．求出 ，令 ，解得x=1．判斷函數的單調性求出極小值，推出結果．（Ⅲ）設h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依題意，對于任意x＞1，h（x）＞0恒成立． ，a≤1時，a＞1時，判斷函數的單調性，求解最值推出結論即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．