Question

已知函數
（1）判斷并證明函數的單調性；
（2）若函數為f（x）奇函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）為R上的增函數，利用函數單調性的定義進行證明；
（2）函數f（x）為奇函數，則f（0）=a-1=0，可得a=1，再進行驗證即可；
（3）因為f（x）是奇函數，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．
解答：解：（1）函數f（x）為R上的增函數．證明如下：…（1分）
證明：函數f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則=．…（3分）
因為y=2^x是R上的增函數，且x₁＜x₂，所以＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）為R上的增函數．…（4分）
（2）∵函數f（x）為奇函數，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
當a=1時，=．
∴f（-x）===-=-f（x），…（8分）
此時，f（x）為奇函數，滿足題意，所以，a=1．…（8分）
（3）因為f（x）是奇函數，從而不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0對任意的t∈R恒成立等價于不等式f（t²+2）＞f（tk-t²）對任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因為在（-∞，+∞）上為增函數，所以等價于不等式t²+2＞tk-t²對任意的t∈R恒成立，即不等式2t²-kt+2＞0對任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必須有△=k²-16＜0，即-4＜k＜4，所以實數k的取值范圍{k|-4＜k＜4}．…（12分）
點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．