Question

已知函數f₁（x）=mx²的圖象過點（1，1），函數y=f₂（x）的圖象關于直線x=a對稱，且x≥a時f₂（x）=x-a，若f（x）=f₁（x）f₂（x）．
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）求函數y=f（x）在區間[2，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數f₁（x）=mx²的圖象過點（1，1），求得m解得f₁（x）；由函數y=f₂（x）的圖象關于直線x=a對稱，且x≥a時f₂（x）=x-a，得到函數f₂（x）最后由f（x）=f₁（x）f₂（x）得到f（x）．
（2）當a≤2時，f（x）=x²（x-a），f′（x）=3x²-2ax，當x∈[2，3]時f（x）是增函數f（x）_min=f（2），當2＜a≤3時f（x）_min=f（a）=0，當a＞3時f（x）=ax²-x³，f′（x）=2ax-3x²，當3＜a＜

9

2

時f（x）在[2，

2

3

a]增，在[

2

3

a，3]減，可得到
f（x）_min=f（2）=4a-8或f（x）_min=f（3）=9a-27，若4a-8＞9a-27，即a＜

19

5

時有兩種情況3＜a＜

19

5

時f（x）_min=f（3），

19

5

＜a＜

9

2

時f（x）_min=f（2），當a≥

9

2

時f（x）_min=f（2）．最后寫成分段函數的形式．

解答：解：（1）∵函數f₁（x）=mx²的圖象過點（1，1），
∴f₁（1）=1，
∴m=1），
∴f₁（x）=x²
∵函數y=f₂（x）的圖象關于直線x=a對稱，且x≥a時f₂（x）=x-a，
∴f₂（x）=|x-a|，
∵f（x）=f₁（x）f₂（x）．
∴f（x）=x²|x-a|，
（2）當a≤2時，f（x）=x²（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax
當x∈[2，3]時f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數
∴f（x）_min=f（2）=8-4a
當2＜a≤3時f（x）=x²|x-a|，f（a）=0
∴f（x）_min=f（a）=0
當a＞3時f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²
當3＜a＜

9

2

時f（x）在[2，

2

3

a]增，在[

2

3

a，3]減
∴f（x）_min=f（2）=4a-8或f（x）_min=f（3）=9a-27
當4a-8＞9a-27即a＜

19

5

當3＜a＜

19

5

時f（x）_min=f（3）=9a-27
當

19

5

＜a＜

9

2

時f（x）_min=f（2）=4a-8
當a≥

9

2

時f（x）_min=f（2）=4a-8
∴f（x）min=

8-4a   a≤2 0       2＜a≤3 a-27   3＜a＜ 19 5 4a-8   a≥ 19 5

點評：本題主要考查函數解析式的求法及應用，主要考查了函數的單調性來函數的最值，還考查了分類討論思想．