Question

已知數列滿足對任意的，都有且.
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1） （2）.（3）

試題分析：（1）當， 時直接代入條件且可求
（2）遞推一項，然后做差得，所以
由于a₂－a₁＝1，即當時都有
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故
（3）由（2）知則
利用裂項相消法得Sn,根據單調遞增得
要使不等式對任意正整數恒成立，只要
可求得實數的取值范圍是.
試題解析：(（1）當時，有，由于，所以
當時，有，將代入上式，由于，所以
（2）由于，①
則有②
②－①，得
由于，所以③
同樣有()，④
③－④，得，所以
由于a₂－a₁＝1，即當時都有
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故 
（3）由（2）知
則
所以
∵∴數列單調遞增．
所以
要使不等式對任意正整數恒成立，只要
∵
∴，即.所以，實數的取值范圍是.