Question

已知數列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=2－，。
（1）若a₁，a₂，a₃成等比數列，求a₁的值；
（2）是否存在a₁，使數列{a_n}為等差數列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說明理由。

Answer 1

(1) 或 ;(2) 當且僅當時，數列為等差數列．

試題分析：(1)把表示為的式子，通過對的范圍進行討論去掉絕對值符號，根據成等比數列可得關于的方程，解出即可；
（2）假設這樣的等差數列存在，則成等差數列，即，將（1）的過程代入，得到關于的方程，分情況①當時②當時,求得進行判斷；看是否與矛盾.此題的難點在與討論絕對值的幾何意義，去絕對值.
試題解析：（1）∵，∴，．
（ⅰ）當時，，
由，，成等比數列得：
∴，解得．        3分
（ⅱ）當時，
∴，解得（舍去）或．
綜上可得或．              6分
（2）假設這樣的等差數列存在，則
由，得，即．
（ⅰ）當時，，解得，從而（），此時是一個等差數列；                        9分
（ⅱ）當時，，解得，與矛盾；
綜上可知，當且僅當時，數列為等差數列．      12分