Question

（2013•泰州三模）設n∈N^*且n≥2，證明：(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_n）+a₂（a₃+a₄+…+a_n）+…+a_n-1a_n]．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用上假設證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：證明：（1）當n=2時，有(a1+a2)2=a12+a22+2a1a2，命題成立．   …（2分）
（2）假設當n=k（k≥2）時，命題成立，
即(a1+a2+…+ak)2=a12+a22+…+ak2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]成立，…（4分）
那么，當n=k+1時，有(a1+a2+…+ak+ak+1)2=(a1+a2+…+ak)2+2(a1+a2+…+ak)ak+1+ak+12
=a12+a22+…+ak2+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k）+a₂（a₃+a₄+…+a_k）+…+a_k-1a_k]+2（a₁+a₂+…+ak)ak+1+ak+12
=a12+a22+…+ak2+ak+12+2[a₁（a₂+a₃+…+a_k+a_k+1）+a₂（a₃+a₄+…+a_k+a_k+1）+…+a_ka_k+1]．
所以當n=k+1時，命題也成立．               …（8分）
根據（1）和（2），可知結論對任意的n∈N^*且n≥2都成立．   …（10分）

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟和方法，注意證明n=k+1時，必須用上假設，這是易錯點．