Question

【題目】已知雙曲線的焦點，漸近線方程為，直線過點且與雙曲線有且只有一個公共點.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或

【解析】

（1）根據雙曲線的焦點的位置以及漸近線方程設出雙曲線的標準方程，再結合焦點的坐標求解即可；

（2）先考慮直線的斜率不存在時，是否符合題意，而后考慮直線的斜率存在時，設出直線的斜率，與雙曲線的方程聯立，根據方程的類型進行討論，最后求出直線的方程.

（1）雙曲線的焦點在軸上，設其方程為

又.

故雙曲線的標準方程為

（2）當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線有兩個公共點，不滿足題意.

所以直線的斜率一定存在，

設直線的方程為.

由得.

當時，即

若，方程無解；

若，由方程得.

此時直線方程為

即.

當時，由，

得.此時直線方程為.

綜上，所求直線的方程為，或.