Question

【題目】若數列和的項數均為，則將數列和的距離定義為.

（1）求數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離.

（2）記為滿足遞推關系的所有數列的集合，數列和為中的兩個元素，且項數均為.若， ，數列和的距離小于2016，求的最大值.

（3）記是所有7項數列（其中， 或）的集合， ，且中的任何兩個元素的距離大于或等于3.求證： 中的元素個數小于或等于16.

Answer 1

【答案】（1）7;（2）3455;（3）見解析.

【解析】（1）根據題意，將兩數列對應代入計算，問題即可得解；（2）由題意，根據遞推關系，不難發現數列是以4為周期的數列，由此可確定數列亦為周期數列，由其首項即可知對應數列各項，依據定義當項數越大時，其距離也呈周期性且越大，從而問題可得解；（3）根據題意，這里可以考慮采用反證法來證明，首先假設問題不成立，再通過特殊賦值法，依據定義進行運算，發現與條件相矛盾，從而問題可得證.

試題解析：（1）由題得數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離為7.

（2）設，其中且.

由，

得， ， ， ，….

所以， ，….

因此集合中的所有數列都具有周期性，且周期為4.

所以數列中， ， ， ， ，

數列中， ， ， ， .

因為，

所以項數越大，數列和的距離越大.

因為，

而 ，

因此，當時， .

故的最大值為3455.

（3）假設中的元素個數大于或等于17.

因為數列中， 或1，

所以僅由數列前三項組成的數組（， ， ）有且只有8個：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.

那么這17個元素之中必有3個具有相同的， ， .

設這3個元素分別為： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中， ， .

因為這3個元素中每兩個元素的距離大于或等于3，

所以在與中， 至少有3個成立.

不妨設， ， .

由題意得， 中一個等于0，另一個等于1.

又因為或1，所以和中必有一個成立.

同理得： 和中必有一個成立， 和中必有一個成立，

所以“ 中至少有兩個成立”和“ 中至少有兩個成立”中必有一個成立.

故和中必有一個成立，這與題意矛盾.

所以中的元素個數小于或等于16.