Question

已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

(1) (2)

解析試題分析：(1)利用待定系數法設橢圓方程為，然后利用題目條件建立方程，解方程即可；（2）聯立直線與橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，，然后利用韋達定理結合點在圓外為銳角，即，建立不等式求直線斜率的取值范圍即可.
試題解析：（1）依題意，可設橢圓的方程為．
由
∵ 橢圓經過點，則，解得
∴ 橢圓的方程為
（2）聯立方程組，消去整理得
∵ 直線與橢圓有兩個交點，
∴ ，解得  ① 
∵ 原點在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．
而、分別在、上且異于點，即   
設兩點坐標分別為，
則

解得  ， ②  
綜合①②可知：  
考點：(1)橢圓的標準方程；（2）點與圓的位置關系；（3）韋達定理.