Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線(xiàn)PB，PC分別交直線(xiàn)OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

Answer 1

（1）求橢圓方程一般用待定系數(shù)法.本題已知橢圓過(guò)兩點(diǎn)，列兩個(gè)方程，解出的值,（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，需列出兩個(gè)方程.一是點(diǎn)C在橢圓上，即，二是的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）題意明確，思路簡(jiǎn)潔，就是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，算出為定值.難點(diǎn)是如何消去參數(shù).因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)： 上，所以可設(shè)，．選擇作為參數(shù)，即用表示點(diǎn)的坐標(biāo).由三點(diǎn)共線(xiàn)，解得，同理解得.從而有，這里主要用到代入化簡(jiǎn).本題也可利用橢圓參數(shù)方程或三角表示揭示為定值.

解析試題分析：（1）,（2）,（3）.
試題解析：（1）由已知，得  解得2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 3分
（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．
由已知，求得直線(xiàn)的方程為，從而．①
又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而． 5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 6分
（3）設(shè)，，．
∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，整理，得． 8分
∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，整理，得． 10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．
從而． 14分
所以 15分
∴為定值，定值為． 16分
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系