Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y2＝8x的焦點為F，直線l過點F且依次交拋物線及圓2于A，B，C，D四點，則|AB|+4|CD|的最小值為_____．

Answer 1

【答案】13

【解析】

當直線l的斜率不存在時，計算出,

當直線l的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k（x﹣2） ，代入拋物線方程,利用韋達定理以及拋物線的定義可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值為13,比較可得答案.

拋物線y2＝8x的焦點為F（2，0），準線方程為x＝﹣2，

圓2的圓心為F ，半徑為，

當直線l的斜率不存在時，x＝2，聯立 解得y2＝32，即y＝±4，

所以,所以,

所以,

當直線l的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k（x﹣2） ，

代入拋物線方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，

設A（x1，y1），D（x2，y2），

可得x1+x2＝4，x1x2＝8，

由拋物線的定義可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）

＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，

當且僅當x1＝4，x2，上式取得最小值13，

綜上可得，|AB|+4|CD|的最小值為13，

故答案為: 13