Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上為增函數；
（3）若函數f（x）在區間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 是奇函數．

∵定義域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定義域關于原點對稱，

且

∴函數 是奇函數

（2）證明：設任意實數x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2

則 ﹣（ ）═

═ = =

∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，

∴ ＜0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

∴函數f（x）在區間[1，+∞）上為增函數

（3）解：∵[2，a][1，+∞）

∴函數f（x）在區間[2，a]上也為增函數．

∴ ，

若函數f（x）在區間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于 ，

則

解得a≥4，

∴a的取值范圍是[4，+∞）

【解析】（1）判斷出函數是奇函數再證明，確定函數定義域且關于原點對稱，利用奇函數的定義可判斷；（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，證明按照取值、作差、變形定號、下結論步驟即可；（3）根據（2）的結論得函數在區間[2，a]上的單調性，再求出最大值、最小值，根據條件列出不等式求出a得范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質和利用導數研究函數的單調性，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．