Question

【題目】已知等差數列{an}，等比數列{bn}滿足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

(2)記cn＝anbn，求數列{cn}的前n項和Sn.

Answer 1

【答案】(1) an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.

(2) Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.

【解析】

(1)先解方程組得到，即得數列{an}，{bn}的通項公式.(2)利用錯位相減求數列{cn}的前n項和Sn.

(1)設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，

由已知可得,

解得.

從而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.

(2)①當an＝bn＝1時，cn＝1，所以Sn＝n；

②當an＝2n－1，bn＝3n－1時，cn＝(2n－1)×3n－1，

Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1，

3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，

從而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n

＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n

＝1＋2×－(2n－1)×3n

＝－2(n－1)×3n－2，

故Sn＝(n－1)×3n＋1.

綜合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.