Question

14、設m，n∈Z，已知函數f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，值域是[0，2]，若關于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實數解，則m+n=

1

．

Answer 1

分析：由關于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實數解，我們易得m的值，然后根據函數f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，值域是[0，2]，結合函數f（x）=log₂（-|x|+4）的性質，可求出n的值，進而得到答案．

解答：解：∵f（x）=log₂（-|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（-|x|+4）∈[1，4]
∴-|x|∈[-3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若關于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實數解
則m=-2
又由函數f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，
結合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數的判斷，對數函數的定義域及對數函數的值域，其中利用關于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實數解，變形得到關于x的方程2^|1-x|+1=-m有唯一的實數解，即-m為函數y=2^|1-x|+1的最值，是解答本題的關鍵．