Question

已知f（x）=1nx－a（x－l），a∈R
（I）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若x≥1時，石恒成立，求實數a的取值范圍，

Answer 1

（I）在上單調遞增；在上單調遞減．（Ⅱ）

解析試題分析：解：（Ⅰ）的定義域為，．
①當時，則，∴在上單調遞增；
②當時，令，得；令，得，
∴在上單調遞增；在上單調遞減．
（Ⅱ）由題意，時，恒成立．
設，則對時恒成立．
則 
①當時，，即在上單調遞減，
∴當時，與恒成立矛盾．
②當時，對于方程（*），
（ⅰ），即時，，即在上單調遞增，
∴符合題意．
（ⅱ），即時，方程（*）有兩個不等實根，不妨設，則，
當時，，即遞減，∴與恒成立矛盾．
綜上，實數的取值范圍為．
另解：時，恒成立，
當時，上式顯然成立；當時，恒成立．
設，可證在上單調遞減（需證明），
又由洛必達法則知，，∴．
故，．
考點：導數的應用
點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。