Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且 是1與an的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設Tn為數列{ }的前n項和，證明： ≤Tn＜1（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解： n=1時，a1=1

n≥2時，由 是1與an的等差中項，

∴ ，

又 ，

兩式相減得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0

∵an＞0

∴an﹣an﹣1=2

∴{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，即an=2n﹣1．

（2）解：∵ = =

∴Tn=

= ．

∵n∈N+

∴Tn＜1

又∵Tn遞增．

∴ ，

綜上， 成立

【解析】（1）由等差中項，列出Sn與an的關系式，根據 求解出數列{an}的通項公式．（2）數列{ }的結構分析，采用裂項相消求數列前n項和Tn ， 結合數列單調性及簡單的放縮法，求得范圍．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．