Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．設向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
（I）若

m

∥

n

，求角C；
（Ⅱ）若

m

⊥

n

，B=15°，a=

6

+

2

，求邊c的大小．

Answer 1

分析：（I）根據兩個向量平行寫出關于三角形的內角的三角函數關系，逆用兩角和的余弦公式，得到兩角和的余弦值，注意角的范圍限制，根據三角形兩個角的和的值得到要求的角的大小．
（Ⅱ）根據兩個向量垂直寫出關于三角形內角的關系式，用二倍角公式和角B的值，得到角A的結果，從而得到角C的大小，根據正弦定理求出邊c的結果．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
∴sinAsinB-cosAcosB=0
cos（A+B）=0，
∵0＜A+B＜180°，
∴A+B=90°，
∴C=180°-（A+B）=90°．
（Ⅱ）∵

m

⊥

n

∴sinAcosA+sinBcosB=0
即sin2A+sin2B=0，
∵B=15°，
∴sin2A+sin30°=0，
sin2A=-

1

2

，
∵0＜2A＜360°-2B=330°，
∴2A=210°，A=105°．
C=180°-15°-105°=60°．
根據正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

?

6 + 2

sin105°

=

c

sin60°

?c=

( 6 + 2 )sin60°

sin105°

．
∵sin105°=sin(45°+60°)=

6 + 2

4

，
∴c=

( 6 + 2 )× 3 2

( 6 + 2 ) 4

=2

3

．

點評：本題是一個三角函數同向量結合的問題，是以向量平行和垂直的充要條件為條件，得到三角函數的關系式，是一道綜合題，在高考時可以以選擇和填空形式出現，也可以作為解答題的一部分出現．