【題目】已知函數
．
（Ⅰ）設
，曲線
在點
處的切線在
軸上的截距為
，求的最小值；
（Ⅱ）若
只有一個零點，求實數
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）-8；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用導數幾何意義先求出切線的方程，再根據切線方程求出
，然后利用二次函數的單調性求最值；（Ⅱ）先對函數求導可得
，再通過分類討論研究函數的單調性，然后根據函數的極值的情況函數零點的關系得出
的取值范圍即可。
（Ⅰ）由已知可得
，
，
，
所以曲線
在點
處的切線方程為
.
令
，得.
因為
，所以
在
上單調遞增，
所以當
時，
.
（Ⅱ）①若
，因為
或
，
，
所以
在
和
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以的極小值為
，極大值為
.
因為
，若只有一個零點，
則
或
.
由，得
或
.又，所以.
由，得
.
因為，所以
，得
，
所以或.
②若，
，則在
上是增函數.
因為
，所以只有一個零點-1.
③若，因為
或
，
，
所以在
和
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以的極小值為，極大值為.
因為，
，若只有一個零點，
則
，即
.
因為，所以，得
.
綜上，實數的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為擔任班主任的教師辦理手機語音月卡套餐，為了解通話時長，采用隨機抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時長
（單位：分鐘）的數據，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率.
（1）求圖中
的值；
（2）估計該校擔任班主任的教師月平均通話時長的中位數；
（3）在
，
這兩組中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面ABCD，
是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，
，F為棱PA上一點，且
，M為AD的中點，四棱錐的體積為
．
（1）若
，N是PB的中點，求證：平面
平面PCD；
（2）在（Ⅰ）的條件，求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2cos(B－C)＋1＝4cosBcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2
，△ABC的面積為2
，求b＋c．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在實數
使得
則稱
是區間
的
一內點．
（1）求證：
的充要條件是存在
使得是區間
的一內點；
（2）若實數
滿足：
求證：存在，使得
是區間
的一內點；
（3）給定實數
，若對于任意區間，
是區間的
一內點，
是區間的
一內點，且不等式
和不等式
對于任意
都恒成立，求證：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
，如果存在常數p，使得對任意正整數n，總有
成立，那么我們稱數列為“p-擺動數列”．
（Ⅰ）設
，
，
，判斷
、
是否為“p-擺動數列”，并說明理由；
（Ⅱ）已知“p-擺動數列”
滿足
，
，求常數p的值；
（Ⅲ）設
，且數列
的前n項和為
，求證：數列
是“p-擺動數列”，并求出常數p的取值范圍．
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