Question

（2012•深圳二模）如圖，M，N是拋物線C₁：x²=4y上的兩動點（M，N異于原點O），且∠OMN的角平分線垂直于y軸，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，B．
（1）求實數λ，μ的值，使得

OB

=λ

OM

+μ

ON

；
（2）若中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C₂經過A，M．求橢圓C₂焦距的最大值及此時的方程．

Answer 1

分析：（1）由∠OMN的角平分線垂直于y軸知，直線OM與直線MN的傾斜角互補，從而斜率之和等于0，確定B，M，N的坐標代入

OB

=λ

OM

+μ

ON

中，即可求得結論；
（2）設橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），將A（2x₁，0），M（x1，

x12

4

）代入，得

4x12

a2

=1

4x12

a2

+

x14

16b2

=1，從而可得a2=4x12，b2=

x14

12

，進而可表示橢圓C₂的焦距，利用基本不等式確定最值，從而可得橢圓C₂的方程．

解答：解：（1）設M（x1，

x12

4

），N（x2，

x22

4

），x₁x₂≠0，x₁≠x₂
由∠OMN的角平分線垂直于y軸知，直線OM與直線MN的傾斜角互補，從而斜率之和等于0，即

x12 4

x1

+

x22 4 - x12 4

x2-x1

=0
化簡得x₂=-2x₁．（3分）
由點M（x1，

x12

4

），N(-2x1，x12)知，直線MN的方程為y-

x12

4

=-

x1

4

(x-x1)．
分別在其中令y=0及x=0得A（2x₁，0），B（0，

x12

2

）．（5分）
將B，M，N的坐標代入

OB

=λ

OM

+μ

ON

中得

λ=2μ λ+4μ=2

，（7分）
所以λ=

2

3

，μ=

1

3

（8分）
（2）設橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
將A（2x₁，0），M（x1，

x12

4

）代入，得

4x12

a2

=1，

x12

a2

+

x14

16b2

=1，（9分）
解得a2=4x12，b2=

x14

12

，由a²＞b²得0＜x12＜48．（10分）
橢圓C₂的焦距2c=

3

3

x12(48-x12)

≤8

3

（12分）
當且僅當x12=48-x12，即x12=24＜48時，上式取等號，故(2c)max=8

3

，（13分）
此時橢圓C₂的方程為

x2

96

+

y2

48

=1（14分）

點評：本題主要考查直線的斜率、拋物線的切線、兩直線平行的位置關系，橢圓的基本性質，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．