Question

【題目】已知橢圓： 經過點，左右焦點分別為、，圓與直線相交所得弦長為2．　

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是橢圓上不在軸上的一個動點， 為坐標原點，過點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點．

（1）試探究的值是否為一個常數？若是，求出這個常數；若不是，請說明理由．

（2）記的面積為， 的面積為，令，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）（1）；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）直線與圓相交，根據弦長公式，求得，再根據橢圓過定點，建立方程，求得 ；（Ⅱ）（1）設直線的方程為，直線的方程為 ，根據弦長公式分別求 ，將 表示為的式子，求定值；（2）將面積表示為的函數，再通過換元，求函數的最值.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得：圓心到直線的距離為1，即，所以，

又橢圓經過點，所以，得到，

所以橢圓的標準方程為．　

（Ⅱ）（1）設， ， ， 的方程為，

則的方程為.

由得即

所以 ，

由，得，

所以， ，

，

所以．

（2）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線： 的距離，

∴，令，則（），

，

令， ，

∴在上為增函數， ， ．