Question

【題目】已知橢圓E：，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與E有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

若，點K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；

證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

若l過點，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）見證明；（3）見解析

【解析】

，橢圓E：，兩個焦點，，設，求出的表達式，然后求解范圍即可．設A，B的坐標分別為，，利用點差法轉化求解即可．直線l過點，直線l不過原點且與橢圓E有兩個交點的充要條件是且設，設直線，代入橢圓方程，通過四邊形OAPB為平行四邊形，轉化求解即可．

，橢圓E：，兩個焦點，

設，，，

，

，

的范圍是

設A，B的坐標分別為，，則兩式相減，

得，，

即，故；

設，設直線，即，

由的結論可知，代入橢圓方程得，，

由與，聯立得

若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，

即，整理得解得，．經檢驗滿足題意

所以當時，四邊形OAPB為平行四邊形