Question

【題目】如圖，將一個邊長為的正三角形分成個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的個小正三角形，分別再從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復操作以上的做法，得到的集合為希爾賓斯基三角形.設是前次挖去的小三角形面積之和（如是第次挖去的中間小三角形面積，是前次挖去的個小三角形面積之和），則 _____________ ， __________.

Answer 1

【答案】

【解析】

本題要逐步觀察，每一次挖去的三角形都是前一次三角形的，每一次只挖去個三角形，由此規律不難發現與的關系，然后根據累加法即可求出的值．

由題意，可知：

原等邊三角形的面積．

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．

由題意，可知：

每次都是在前一次的基礎上挖去幾個相同大小的三角形．

第一次挖去的三角形是原等邊三角形的，且第一次只挖去1個三角形；

第二次挖去的三角形是原等邊三角形的，且第二次只挖去3個三角形；

第三次挖去的三角形是原等邊三角形的，且第三次只挖去個三角形；

第次挖去的三角形是原等邊三角形的，且第次只挖去個三角形；

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故答案為：；．