Question

【題目】（1）當時，求證：；

（2）當函數與函數有且僅有一個交點，求的值；

（3）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當或時，函數有兩個零點，當時，函數有四個零點，當時，函數沒有零點.

【解析】

試題分析：（1）構造函數，分別利用導數求得函數的最小值和的最大值，由此證得不等式成立；（2）當函數與函數有且僅有一個交點,構造函數，利用導數判斷的單調區間，由此求得；（3）令，對分成，，，四類，利用導數求得函數的零點個數.

試題解析：

（1）令，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，同理可證，故得證．．．．．．．．．．．．．4分

（2）令，令，則在上單調遞減，在上單調遞增，

，使，當時，

；，

當時，，∴．8分

（3）令是偶函數，，時，，由（2）知，當時，函數，有兩個零點；

，當時，，

所以函數 ，有兩個零點；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，，，當時，

，所以，函數，有四個零點；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，且，函數，沒有零點．

綜上所述，當或時，函數，有兩個零點；當時，函數有四個零點；當時，函數沒有零點．．．．．．．．．．．．．．．．．12分