Question

【題目】如圖，已知所在的平面， 是的直徑， 是上一點，且是中點， 為中點．

（1）求證： 面；

（2）求證： 面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據直線與平面平行的判定定理可知，只需證與面內一直線平行即可，根據中位線定理可知，又面面，滿足定理所需條件； （2）由面面，則，而是的直徑，則，又，則面，由于所以面；（3）根據面，則即為三棱錐的高，將三棱錐的體積轉化成三棱錐的體積，根據錐體的體積公式進行求解即可.

試題解析：（1）證明：在三角形中， 是中點， 為中點，

∴， 平面平面，∴面；

（2）證明：∵面， 平面，∴，

又∵是的直徑，∴，

又，∴面，

∵，∴面；

（3）∵，∴，

在中，∵，∴，

∴．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.