Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角所在平面互相垂直，F為BC的中點，,AE∥CD,.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）取BD的中點P，連結EP、FP，則PF，
又∵EA，∴EAPF，……………………2分
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵面平面，
∴AF∥面BDE.…………………………………………4分
（Ⅱ）以CA、CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點和AB平行的直線作為y軸，建立如圖所示坐標系.…………………5分
由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）
則.………………………6分
∵面面，面面，∴面
∴是面的一個法向量.………………………………8分
設面的一個法向量n=(x,y,z),則n，n.
∴即整理，得令，則
所以n=(1,1,2)是面的一個法向量.……………………………10分
故.
圖形可知二面角的平面角，所以其余弦值為.

略